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<!DOCTYPE html>

<title>Normalenvektor</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Normalenvektor</h1>

</header>

</div>

In der <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> ist ein Normalenvektor, auch Normalvektor, ein <a href="Vektor" title="Vektor">Vektor</a>, der <a href="Orthogonalit%C3%A4t" title="Orthogonalität">orthogonal</a> (d. h. rechtwinklig, senkrecht) auf einer <a href="Gerade" title="Gerade">Geraden</a>, <a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurve</a>, <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a>, (gekrümmten) <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Fläche</a> oder einer <a href="Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">höherdimensionalen</a> Verallgemeinerung eines solchen Objekts steht. Eine Gerade mit diesem Vektor als Richtungsvektor heißt Normale. Ein Normaleneinheitsvektor oder eine Einheitsnormale ist ein Normalenvektor der Länge 1.

In diesem Artikel wird zunächst der Fall von Geraden in der Ebene und von Ebenen im dreidimensionalen Raum behandelt (<a href="Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">Lineare Algebra</a> und <a href="Analytische_Geometrie" title="Analytische Geometrie">analytische Geometrie</a>), dann der Fall von Kurven in der Ebene und von Flächen im Raum (<a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a>).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Normalenvektoren_von_Geraden_und_Ebenen">Normalenvektoren von Geraden und Ebenen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Normale_und_Normalenvektor_einer_Geraden_in_der_Ebene">Normale und Normalenvektor einer Geraden in der Ebene</h3></div>

Ein Normalenvektor einer Geraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> in der Ebene ist ein vom <a href="Nullvektor" title="Nullvektor">Nullvektor</a> verschiedener Vektor, der senkrecht auf dieser Geraden steht. Es handelt sich also um den Richtungsvektor einer Geraden, die senkrecht auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> steht, sprich einer Orthogonalen oder Normalen zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>

Zu jeder Geraden in der Ebene gibt es unendlich viele Normalenvektoren, die alle Vielfache voneinander sind. Sind also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af6106a15971b1bd3730cfcef1b229168997ce8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/657a5d222dde14d11d287e61b00bf3d937c6bec5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{2}}" loading="lazy"> Normalenvektoren ein und derselben Geraden in der Ebene, so gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{2}=c\cdot {\vec {n}}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{2}=c\cdot {\vec {n}}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/315aa568f4fcf724ce481b06fa42b8907222a6f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.682ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{2}=c\cdot {\vec {n}}_{1}}" loading="lazy"> für ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be27396bd0e62003728d08329a8767eee94409e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.268ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle c\neq 0}" loading="lazy">. Somit existieren zu jeder Gerade in der Ebene auch unendlich viele <a href="Normalenform#Normalenform_einer_Geradengleichung" title="Normalenform">Normalengleichungen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Berechnung">Berechnung</h4></div>

Hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> die Parameterform <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a2d9a2acc91e288561551c083a4a459ff696a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.609ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}" loading="lazy"> mit dem Richtungsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}=(a,b)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}=(a,b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8303087f9f1d7ff6f118e2628adbf4f0db9df4e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.344ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}=(a,b)}" loading="lazy">, so sind die beiden Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-b,a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-b,a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/543e17391e207b168218013abc74870c3096893f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.879ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-b,a)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b,-a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b,-a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/922884ca210f6f0b01a8f431d2cf86a0e85ba587.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.879ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (b,-a)}" loading="lazy"> Normalenvektoren. Durchläuft man die Gerade in der Richtung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy">, so weist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-b,a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-b,a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/543e17391e207b168218013abc74870c3096893f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.879ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-b,a)}" loading="lazy"> nach links und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (b,-a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (b,-a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/922884ca210f6f0b01a8f431d2cf86a0e85ba587.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.879ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (b,-a)}" loading="lazy"> nach rechts.

Ist die Gerade in der <a href="Geradengleichung#Normalform_oder_Hauptform" title="Geradengleichung">Normalform</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=mx+c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=mx+c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3daca9fbcf73b8a2b575a10e2d5de25f9f1c6f49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.471ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle y=mx+c}" loading="lazy"> gegeben, so ist der Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,m)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,m)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12ad3b2aa175b1066bfde6c4969b4556f73d3a6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.046ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,m)}" loading="lazy"> ein Richtungsvektor der Geraden und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-m,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-m,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9e6ba9a3f13c8479e4982ac513fec2a34012521.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.854ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-m,1)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (m,-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (m,-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2f0fd803510915303d75a418a90f75a69689e1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.854ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (m,-1)}" loading="lazy"> sind Normalenvektoren. Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce13986af1c35b143f1e634e932044b2cb83a92e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.301ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle m\neq 0}" loading="lazy"> hat also jede Normale die Steigung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1/m}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1/m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b2bf0b77857eaa0d4b128c0d3e2bebb6508508.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.173ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -1/m}" loading="lazy">.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e57f21007575fd03e3be0da20af34d25829cc9a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m=0}" loading="lazy">, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> horizontal, so ist jede Normale vertikal, hat also eine Gleichung der Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaae23950e96a955ab5b07015a168fd931d4d82b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.658ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x=a}" loading="lazy">.

Ist die Gerade in der allgemeinen Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ax+by=d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ax+by=d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/490ed5a0433bcce594f72dfe12819761cb7f3ec8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.867ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ax+by=d}" loading="lazy"> gegeben, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.071ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)}" loading="lazy"> ein Normalenvektor.<a href="#cite_note-:0-1">[1]</a>

Aus einem Normalenvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49569db585c1b6306d5ffd91161775f67235fae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}}" loading="lazy"> erhält man einen Normaleneinheitsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e61c9a3a3340ecb35a2be480f535e90026eaa15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}}" loading="lazy">, indem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49569db585c1b6306d5ffd91161775f67235fae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}}" loading="lazy"> durch seine Länge (<a href="Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">Norm</a>, Betrag) dividiert wird:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\frac {1}{\|{\vec {n}}\|}}{\vec {n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d3860a7e7104684b825bc2bacbe07be86402e63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:11.498ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\frac {1}{\|{\vec {n}}\|}}{\vec {n}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der zweite Normaleneinheitsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\vec {n}}_{0}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\vec {n}}_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79b49cc8a02d9878e11757da26080a5ef93f625e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.257ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle -{\vec {n}}_{0}}" loading="lazy"> ergibt sich durch Multiplikation des obigen Normaleneinheitsvektors mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}" loading="lazy">. Umgekehrt erhält man alle Normalenvektoren aus einem Normaleneinheitsvektor durch skalare Multiplikation.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Normalenvektor_einer_Geraden_im_Raum">Normalenvektor einer Geraden im Raum</h3></div>

Eine Gerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> im Raum ist typischerweise durch eine Parametergleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a2d9a2acc91e288561551c083a4a459ff696a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.609ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}" loading="lazy"> gegeben. Jeder Normalenvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}\neq 0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9cf95d932dcf16534c7288219cfbd34478b53fb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.656ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}\neq 0}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> erfüllt die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c560500c6309a1f853275dc4cf9de79a284c22f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.51ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=0}" loading="lazy"> bzw. in ausgeschriebener Form <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{1}v_{1}+n_{2}v_{2}+n_{3}v_{3}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{1}v_{1}+n_{2}v_{2}+n_{3}v_{3}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e9f88a2d687ac8ba5899e4c6b22bb238c9d43a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.834ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n_{1}v_{1}+n_{2}v_{2}+n_{3}v_{3}=0}" loading="lazy">. Bei dieser Gleichung sind zwei der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57f87f905ba5a4d8c691ccaecd65fc47bd007ba4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.194ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle n_{i}}" loading="lazy"> frei wählbar und die dritte Zahl wird so angepasst, dass die Gleichung erfüllt ist. Die Menge der Normalenvektoren ist also zweidimensional, und das bedeutet geometrisch, dass die Normalenvektoren in einer Ebene liegen, die orthogonal zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> ist. Damit ist der Richtungsvektor der Geraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy"> ein Normalenvektor dieser Ebene (siehe nächster Abschnitt).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Normale_und_Normalenvektor_einer_Ebene">Normale und Normalenvektor einer Ebene</h3></div>

Ein Normalenvektor einer Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> im dreidimensionalen Raum ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht. Es handelt sich also um den Richtungsvektor einer Geraden, die senkrecht auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> steht, sprich einer Orthogonalen oder Normalen zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-:1-2">[2]</a>

Zu jeder Ebene gibt es unendlich viele Normalenvektoren, die alle als Vielfache auseinander hervorgehen. Sind also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af6106a15971b1bd3730cfcef1b229168997ce8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{2}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/657a5d222dde14d11d287e61b00bf3d937c6bec5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.449ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{2}}" loading="lazy"> Normalenvektoren ein und derselben Ebene, so gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}_{2}=c\cdot {\vec {n}}_{1}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}_{2}=c\cdot {\vec {n}}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/315aa568f4fcf724ce481b06fa42b8907222a6f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.682ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}_{2}=c\cdot {\vec {n}}_{1}}" loading="lazy"> für ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be27396bd0e62003728d08329a8767eee94409e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.268ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle c\neq 0}" loading="lazy">. Somit existieren zu jeder Ebene auch unendlich viele <a href="Normalenform#Normalenform_einer_Ebenengleichung" title="Normalenform">Normalengleichungen</a>.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Berechnung_2">Berechnung</h4></div>

Ist die Ebene durch die <a href="Allgemeine_Koordinatenform#Allgemeine_Koordinatenform_einer_Ebenengleichung" title="Allgemeine Koordinatenform">Koordinatengleichung</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ax+by+cz=d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fb9dc02a498445bc0cbd7e904fc0621b7a8c3a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.803ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle ax+by+cz=d}" loading="lazy"></dd></dl>

gegeben, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b,c)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b,c)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae973a762a92b9cd3eafe7f283890ccfa9b887e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.111ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b,c)}" loading="lazy"> ein Normalenvektor.<a href="#cite_note-:1-2">[2]</a> Ist die Koordinatengleichung nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"> aufgelöst,

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=ax+by+c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/824372e118f6c70eb706651a4a721396691b2f5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.587ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z=ax+by+c}" loading="lazy">,</dd></dl>

so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-a,-b,1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-a,-b,1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1d4df01eb13398bf5377a9d1f47d6369445714d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.883ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-a,-b,1)}" loading="lazy"> ein nach oben weisender und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b,-1)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b,-1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b06c7f507bda880a61414af16a2bdb1e915f3e4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.075ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b,-1)}" loading="lazy"> ein nach unten weisender Normalenvektor.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> durch zwei aufspannende Vektoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e0b7303d8bc20288158180633e7cb7dda0f7930.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.457ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b53285f25b2bcc75ae832dda5cd091bad4cb8951.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.697ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})}" loading="lazy"> gegeben (Punkt-Richtungs-Form oder <a href="Parameterform" title="Parameterform">Parameterform</a>), führt die Bedingung, dass der Normalenvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}=(n_{1},n_{2},n_{3})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}=(n_{1},n_{2},n_{3})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e2e0bd9aac9f7778460a1e55574a70a84e9d749b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}=(n_{1},n_{2},n_{3})}" loading="lazy"> senkrecht auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89c41e9cf70c5e5b56e2128a136985a75f90ba43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy"> steht, auf ein <a href="Lineares_Gleichungssystem" title="Lineares Gleichungssystem">lineares Gleichungssystem</a> für die Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5ad7be042695833cfb38db88f2293c75cfcccd3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.415ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49569db585c1b6306d5ffd91161775f67235fae0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}}" loading="lazy">:

<mtr>

<mtd>

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</mrow>

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</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}\,n_{1}+u_{2}\,n_{2}+u_{3}\,n_{3}&=0\\v_{1}\,n_{1}+v_{2}\,n_{2}+v_{3}\,n_{3}&=0\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa03e516f0c8bf877cd8063ef107d9c6ce33cb65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:26.353ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}\,n_{1}+u_{2}\,n_{2}+u_{3}\,n_{3}&=0\\v_{1}\,n_{1}+v_{2}\,n_{2}+v_{3}\,n_{3}&=0\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Jede von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28c6fd55d5621fd95ca93549660fbb355fd9bd22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.365ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0,0)}" loading="lazy"> verschiedene Lösung liefert einen Normalenvektor.<a href="#cite_note-:1-2">[2]</a>

Eine andere Möglichkeit, Normalenvektoren zu bestimmen, bietet das <a href="Kreuzprodukt" title="Kreuzprodukt">Kreuzprodukt</a>. Der Vektor

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

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</mtr>

<mtr>

<mtd>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{pmatrix}u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\\u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}\\u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af157262268efb87267109379449fd4a5be94a46.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:28.592ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{pmatrix}u_{2}\cdot v_{3}-u_{3}\cdot v_{2}\\u_{3}\cdot v_{1}-u_{1}\cdot v_{3}\\u_{1}\cdot v_{2}-u_{2}\cdot v_{1}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

steht senkrecht auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89c41e9cf70c5e5b56e2128a136985a75f90ba43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy">, und

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b00322adadd9f4c4f4861a0737ebb7980d749be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.918ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}}" loading="lazy"> bilden in dieser Reihenfolge ein <a href="Rechtssystem_(Mathematik)" title="Rechtssystem (Mathematik)">Rechtssystem</a>.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Wie im Fall der Gerade in der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor einen Normaleneinheitsvektor, indem man ihn durch seine Länge dividiert, einen zweiten durch Multiplikation mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}" loading="lazy"> und alle andern Normalenvektoren durch Multiplikation mit reellen Zahlen ungleich null.

Eine Ebene wird durch einen Normalenvektor sowie einen auf der Ebene liegenden Punkt eindeutig bestimmt (siehe <a href="Normalenform" title="Normalenform">Normalenform</a> und <a href="Hessesche_Normalform" title="Hessesche Normalform">hessesche Normalform</a>).<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Normalenvektoren_von_Kurven_und_Flächen">Normalenvektoren von Kurven und Flächen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ebene_Kurven">Ebene Kurven</h3></div>

In der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> und in der <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a> ist der Normalenvektor zu einer ebenen <a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurve</a> (in einem bestimmten Punkt) ein Vektor, der auf dem <a href="Tangentialvektor" class="mw-redirect" title="Tangentialvektor">Tangentialvektor</a> in diesem Punkt orthogonal (senkrecht) steht. Vorausgesetzt ist dabei, dass die Kurve glatt ist, also im betrachteten Bereich Tangenten besitzt. Die Gerade in Richtung des Normalenvektors durch diesen Punkt heißt Normale, sie ist orthogonal zur <a href="Tangente" title="Tangente">Tangente</a>.<a href="#cite_note-:2-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Berechnung_3">Berechnung</h4></div>

Ist die Kurve als <a href="Funktionsgraph" title="Funktionsgraph">Graph</a> einer <a href="Differenzierbar" class="mw-redirect" title="Differenzierbar">differenzierbaren</a> <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> gegeben, so hat die Tangente im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=(x_{0},f(x_{0}))}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=(x_{0},f(x_{0}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aeb01f9a616fd917b56503d91d14c505320871de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:15.056ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p=(x_{0},f(x_{0}))}" loading="lazy"> die Steigung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{t}=f'(x_{0})\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{t}=f'(x_{0})\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55a748da21dc3a395c9d9a630f2f2703338d503b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.55ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle m_{t}=f'(x_{0})\,}" loading="lazy">, die Steigung der Normalen beträgt also

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{n}=-{\frac {1}{m_{t}}}=-{\frac {1}{f'(x_{0})}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52e6ee174059bc2f654ff93a2629b01ef0b90726.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:24.843ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle m_{n}=-{\frac {1}{m_{t}}}=-{\frac {1}{f'(x_{0})}}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Normale im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=(x_{0},f(x_{0}))}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=(x_{0},f(x_{0}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aeb01f9a616fd917b56503d91d14c505320871de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:15.056ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p=(x_{0},f(x_{0}))}" loading="lazy"> ist dann durch die Gleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x_{0})+m_{n}(x-x_{0}),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d15343825ad5d44f040d76d06a7612195e764a4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.835ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x_{0})+m_{n}(x-x_{0}),}" loading="lazy"></dd></dl>

also durch

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x_{0})-{\frac {1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0335d7b08f586ec032ee87dc5d6c243b912fb72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.964ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle y=f(x_{0})-{\frac {1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0})}" loading="lazy"></dd></dl>

gegeben.<a href="#cite_note-md-7">[7]</a>

Ist die ebene Kurve in <a href="Parameterform" title="Parameterform">Parameterform</a> gegeben, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c13b4da9ce9fe3b81314f34017a56d603d4f82f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.38ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}" loading="lazy">, so ist

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {c}}(t)=({\dot {x}}(t),{\dot {y}}(t))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8600a9417984bfbc2efd22ac58c2dc6f492313d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.812ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {c}}(t)=({\dot {x}}(t),{\dot {y}}(t))}" loading="lazy"> ein Tangentialvektor im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e77d04462d26c4fdbfe8f988b182babd15059df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.656ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c(t)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\dot {y}}(t),-{\dot {x}}(t))}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\dot {y}}(t),-{\dot {x}}(t))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5a252f5f19cc17b9d647062cb1b982146fd67d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.581ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\dot {y}}(t),-{\dot {x}}(t))}" loading="lazy"> ein nach rechts weisender Normalenvektor.<a href="#cite_note-:2-6">[6]</a> Hier bezeichnet, wie in der Differentialgeometrie üblich, der Punkt die Ableitung nach dem Kurvenparameter.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kurven_im_Raum">Kurven im Raum</h3></div>

Bei <a href="Raumkurve" class="mw-redirect" title="Raumkurve">Raumkurven</a> bilden die Normalenvektoren in einem Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> (wie im Fall der Geraden im Raum) einen zweidimensionalen <a href="Untervektorraum" title="Untervektorraum">Untervektorraum</a>, der zugehörige <a href="Affiner_Unterraum" title="Affiner Unterraum">affine Unterraum</a> durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy">, ist die zur Kurve in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> senkrechte Ebene. In der elementaren Differentialgeometrie wählt man einen <a href="Einheitsvektor" title="Einheitsvektor">Einheitsvektor</a> aus, der in die Richtung zeigt, in die die Kurve gekrümmt ist. Diesen nennt man <a href="Frenetsche_Formeln" title="Frenetsche Formeln">Hauptnormalen(einheits)vektor</a>, siehe <a href="Frenetsche_Formeln" title="Frenetsche Formeln">Frenetsche Formeln</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Flächen_im_dreidimensionalen_Raum">Flächen im dreidimensionalen Raum</h3></div>

Entsprechend ist der Normalenvektor einer gekrümmten <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Fläche</a> in einem Punkt der Normalenvektor der <a href="Tangentialebene" title="Tangentialebene">Tangentialebene</a> in diesem Punkt.

Ist die Fläche durch die <a href="Parameterdarstellung" title="Parameterdarstellung">Parameterdarstellung</a>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\colon U\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\quad (u,v)\mapsto F(u,v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b5c65dd17f04724318262cdef49d28885ddc289.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.047ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F\colon U\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},\quad (u,v)\mapsto F(u,v)}" loading="lazy"></dd></dl>

gegeben, so sind die beiden Vektoren

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{u}(u,v):={\frac {\partial F}{\partial u}}(u,v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4c74f160d63fc7361df576935dbbc2081efdc2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.908ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle F_{u}(u,v):={\frac {\partial F}{\partial u}}(u,v)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{v}(u,v):={\frac {\partial F}{\partial v}}(u,v)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{v}(u,v):={\frac {\partial F}{\partial v}}(u,v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f76532d263a7279d0adc31714e64d4a436589ff5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.766ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle F_{v}(u,v):={\frac {\partial F}{\partial v}}(u,v)}" loading="lazy"></dd></dl>

Spannvektoren der Tangentialebene im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(u,v)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(u,v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fad27c7950c02fe8add1863477d4e60d207b4fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.041ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(u,v)}" loading="lazy">. (Hier wird vorausgesetzt, dass die Fläche bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (u,v)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u,v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eadf12294edccd7a29c99cfc1765e4a14bf47e58.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.301ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (u,v)}" loading="lazy"> <a href="Regul%C3%A4re_Fl%C3%A4che" title="Reguläre Fläche">regulär</a> ist, also dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{u}(u,v)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{u}(u,v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7ea030314dc8dc7ac26a0c6240bdfb8ee3202b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.968ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{u}(u,v)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{v}(u,v)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{v}(u,v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae7708890b93a69cae81adab5ec57c94a70956e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.825ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{v}(u,v)}" loading="lazy"> <a href="Linear_unabh%C3%A4ngig" class="mw-redirect" title="Linear unabhängig">linear unabhängig</a> sind.) Ein Normalenvektor im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(u,v)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(u,v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5fad27c7950c02fe8add1863477d4e60d207b4fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.041ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(u,v)}" loading="lazy"> ist ein Vektor, der senkrecht auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{u}(u,v)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{u}(u,v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7ea030314dc8dc7ac26a0c6240bdfb8ee3202b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.968ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{u}(u,v)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{v}(u,v)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{v}(u,v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae7708890b93a69cae81adab5ec57c94a70956e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.825ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{v}(u,v)}" loading="lazy"> steht, z. B. der durch das Kreuzprodukt gegebene und dann normierte Hauptnormalenvektor

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(u,v):={\frac {F_{u}(u,v)\times F_{v}(u,v)}{\left|F_{u}(u,v)\times F_{v}(u,v)\right|}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70aee92921596812b048df0572e0e38d1d3047ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.906ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle N(u,v):={\frac {F_{u}(u,v)\times F_{v}(u,v)}{\left|F_{u}(u,v)\times F_{v}(u,v)\right|}}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Hier bezeichnen die senkrechten Striche die <a href="Euklidische_Norm" title="Euklidische Norm">euklidische Norm</a> des Vektors.<a href="#cite_note-el-8">[8]</a>

Ist die Fläche implizit durch eine Gleichung gegeben,

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x,y,z)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40b0ca5e1a35d085f8d905f9fd9052cb71971f5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(x,y,z)=0}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48174420e015448217cc0c58113149e1ba258b63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.174ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine differenzierbare Funktion ist, so ist der <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradient</a>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {grad} g(x,y,z)=\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(x,y,z),{\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y,z),{\frac {\partial g}{\partial z}}(x,y,z)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de9afcaa089b85b480bb3fcd546959dd2dbbb77d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:54.485ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {grad} g(x,y,z)=\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(x,y,z),{\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y,z),{\frac {\partial g}{\partial z}}(x,y,z)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

ein Normalenvektor der Fläche im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y,z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y,z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22a8c93372e8f8b6e24d523bd5545aed3430baf4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.45ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y,z)}" loading="lazy"> (vorausgesetzt, dass er dort nicht verschwindet).

Ist die Fläche als Graph einer differenzierbaren Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/725b0e05a55a325c41bf1911f2fcd83dc7101102.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.337ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> gegeben, so ist

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y),-{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y),1\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fcf3252c05c0d3f1388459d886983cbee15a1b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.841ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left(-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y),-{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y),1\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

ein nach oben weisender Normalenvektor im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=(x,y,f(x,y))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=(x,y,f(x,y))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5591419e87c4ec356eee9fb5ce047dc22a7c928c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:17.327ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p=(x,y,f(x,y))}" loading="lazy">. Dies erhält man, indem man verwendet, dass die Abbildung

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y)=(x,y,f(x,y))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b37dde8826a8d4d6044d02cafb5e6e40a369455a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(x,y)=(x,y,f(x,y))}" loading="lazy"> eine Parametrisierung ist oder dass die Fläche durch die Gleichung

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x,y,z):=z-f(x,y)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13664a91194a7d90f1bfdcb43979921dfd48063b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.108ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(x,y,z):=z-f(x,y)=0}" loading="lazy"></dd></dl>

dargestellt wird.<a href="#cite_note-md-7">[7]</a><a href="#cite_note-el-8">[8]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2></div>

Der Begriff des Normalenvektors lässt sich verallgemeinern auf

<ol><li><a href="Affiner_Unterraum" title="Affiner Unterraum">affine Unterräume</a> (verallgemeinerte Ebenen) in euklidischen Räumen höherer <a href="Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">Dimension</a> (insbesondere auf <a href="Hyperebene" title="Hyperebene">Hyperebenen</a>),</li>

<li>Flächen, <a href="Hyperfl%C3%A4che" title="Hyperfläche">Hyperflächen</a> und <a href="Untermannigfaltigkeit" title="Untermannigfaltigkeit">Untermannigfaltigkeiten</a> in euklidischen Räumen höherer Dimension,</li>

<li>Flächen, Hyperflächen und Untermannigfaltigkeiten von <a href="Riemannsche_Mannigfaltigkeit" title="Riemannsche Mannigfaltigkeit">Riemannschen Mannigfaltigkeiten</a>,</li>

<li>Nichtglatte Objekte, wie konvexe Körper und <a href="Rektifizierbare_Menge" title="Rektifizierbare Menge">rektifizierbare Mengen</a>.</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

In der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> und <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a> spielen Normalenvektoren eine zentrale Rolle bei der Berechnung von <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Oberflächeninhalten</a> und <a href="Oberfl%C3%A4chenintegral" title="Oberflächenintegral">Oberflächenintegralen</a>. Im Bereich der <a href="Computergrafik" title="Computergrafik">Computergrafik</a> werden Normalenvektoren unter anderem genutzt, um festzustellen, ob eine Fläche dem Benutzer zugewandt ist oder nicht, um letztere von der Bildberechnung auszuschließen (<a href="Backface_Culling" class="mw-redirect" title="Backface Culling">Back-Face Culling</a>). Des Weiteren werden sie zur Berechnung von Lichteinfall und Reflexionen benötigt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/NormalVector.html">normal vector.</a> In: <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Schülerduden – Die Mathematik II. 3. Auflage. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG, Mannheim 1991. S. 290–293.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-:0-1">↑ <a href="#cite_ref-:0_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-:0_1-1">b</a> <cite style="font-style:italic">Schülerduden – Die Mathematik II</cite>. 1991, S. 290.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Normalenvektor&rft.btitle=Sch%C3%BClerduden+-+Die+Mathematik+II&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.pages=290" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-:1-2">↑ <a href="#cite_ref-:1_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-:1_2-1">b</a> <a href="#cite_ref-:1_2-2">c</a> <cite style="font-style:italic">Schülerduden – Die Mathematik II</cite>. 1991, S. 292.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Normalenvektor&rft.btitle=Sch%C3%BClerduden+-+Die+Mathematik+II&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.pages=292" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <cite style="font-style:italic">Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs</cite>. Volk und Wissen, Berlin 2000, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 184.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Normalenvektor&rft.btitle=Analytische+Geometrie%3A+Lehrbuch+f%C3%BCr+die+Sekundarstufe+II%3B+Gymnasium.+Leistungskurs&rft.date=2000&rft.genre=book&rft.isbn=9783060011735&rft.pages=184&rft.place=Berlin&rft.pub=Volk+und+Wissen" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <cite style="font-style:italic">Schülerduden – Die Mathematik II</cite>. 1991, S. 418.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Normalenvektor&rft.btitle=Sch%C3%BClerduden+-+Die+Mathematik+II&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.pages=418" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <cite style="font-style:italic">Schülerduden – Die Mathematik II</cite>. 1991, S. 90.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Normalenvektor&rft.btitle=Sch%C3%BClerduden+-+Die+Mathematik+II&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.pages=90" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-:2-6">↑ <a href="#cite_ref-:2_6-0">a</a> <a href="#cite_ref-:2_6-1">b</a> <cite style="font-style:italic">Schülerduden – Die Mathematik II</cite>. 1991, S. 291.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Normalenvektor&rft.btitle=Sch%C3%BClerduden+-+Die+Mathematik+II&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.pages=291" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-md-7">↑ <a href="#cite_ref-md_7-0">a</a> <a href="#cite_ref-md_7-1">b</a> Normale, Normalenform, Normalenvektor. Ebenengleichung, Geradengleichung In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 89–93, 154–156, 299–300

</li>

<li id="cite_note-el-8">↑ <a href="#cite_ref-el_8-0">a</a> <a href="#cite_ref-el_8-1">b</a> Kurt Endl, <a href="Wolfgang_Luh" title="Wolfgang Luh">Wolfgang Luh</a>: Analysis. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 375–387.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>